математика
В отличие от математики, которая представляет собой познание в чистом виде, философия решает по-настоящему практические задачи.
источник
Все мы помним меняющее цвет платье, которое пару месяцев назад едва не разделило человечество на две непримиримые половины.
Сегодня же в моде новый околонаучный вирус, запущенный телеведущим из Сингапура Кеннетом Конгом (Kenneth Kong), логическая задачка о дне рождения Шерил.
Мы приведем ее в несколько проясненном виде: английский сингапурского ведущего оставляет желать лучшего и скорее запутывает проблему.
Альберт и Бернард познакомились с Шерил. Альберт спросил: «Когда у тебя день рождения?» Шерил секунду подумала, а потом ответила: «Я не скажу тебе, но дам несколько подсказок». Она написала список из десяти дат:
15 мая – 16 мая – 19 мая
17 июня – 18 июня
14 июля – 16 июля
14 августа – 15 августа – 17 августа
«Один из этих дней – мой день рождения», – добавила Шерил. А затем наклонилась и на ухо Альберту прошептала месяц – и только месяц – своего дня рождения. А на ухо Бернарду – число, и только число – и спросила: «Сможете назвать день, не говоря друг другу ничего?» Тогда Альберт сказал:
– Я не знаю, когда у тебя день рождения, но я знаю, что и Бернард не знает.
– Сначала я не знал, а теперь знаю, – ответил Бернард.
— Отлично, теперь знаю и я! — воскликнул Альберт.
Когда же у Шерил день рождения?
Кстати, поначалу Кеннет Конг заявлял, что задача предназначена для сингапурских пятиклашек, подняв очередную волну восхищения уровнем математического образования в стране. Однако вскоре она нашлась в сборнике задач для проведения математических олимпиад среди старшеклассников.
Рекомендуем поломать голову. А для ленивых – решение:
На первый взгляд кажется странным, что Бернард, которому Шерил назвала лишь число, может знать ответ. Однако если вглядеться, такое вполне возможно, если только она прошептала «19» (тогда ответ – 19 мая) или «18» (18 июня). С другой стороны, тогда Шерил должна была назвать Альберту май или июнь соответственно.
Но тогда у Бернарда – с точки зрения Альберта – был бы шанс изначально знать дату. Если бы Шерил сказала Альберту «май» или «июнь», то Бернарду она могла назвать «19» или «18». Однако Альберт уверенно говорит, что нужную дату не знают оба. Из этого можно вывести, что Шерил родилась в июле или августе. Это не может быть 14-е число, иначе б Бернард так и не смог бы определиться между этими двумя месяцами.
У нас остается всего три возможности: 16 июля и 15 или 17 августа. И тут Альберт радуется: «Теперь знаю и я!» Это последний шаг: если б Шерил назвала ему август, он также не смог бы выбрать между двумя возможностями. Остается лишь 16 июля. Похоже, Шерил «рак по гороскопу», что совершенно не объясняет ее странную манеру знакомиться.
источник
123 x 8 + 3 = 987
1234 x 8 + 4 = 9876
12345 x 8 + 5 = 98765
123456 x 8 + 6 = 987654
1234567 x 8 + 7 = 9876543
12345678 x 8 + 8 = 98765432
123456789 x 8 + 9 = 987654321
1 x 9 + 2 = 11
12 x 9 + 3 = 111
123 x 9 + 4 = 1111
1234 x 9 + 5 = 11111
12345 x 9 + 6 = 111111
123456 x 9 + 7 = 1111111
1234567 x 9 + 8 = 11111111
12345678 x 9 + 9 = 111111111
123456789 x 9 +10= 1111111111
9 x 9 + 7 = 88
98 x 9 + 6 = 888
987 x 9 + 5 = 8888
9876 x 9 + 4 = 88888
98765 x 9 + 3 = 888888
987654 x 9 + 2 = 8888888
9876543 x 9 + 1 = 88888888
98765432 x 9 + 0 = 888888888
1 x 1 = 1
11 x 11 = 121
111 x 111 = 12321
1111 x 1111 = 1234321
11111 x 11111 = 123454321
111111 x 111111 = 12345654321
1111111 x 1111111 = 1234567654321
11111111 x 11111111 = 123456787654321
111111111 x 111111111 = 12345678987654321
источник
10 самых интересных советов по упрощению математических операций.
Умножение «3 на 1» в уме
Умножение трёхзначных чисел на однозначные — это очень простая операция. Всё, что нужно сделать, — это разбить большую задачу на несколько маленьких.
Пример: 320 × 7
Разбиваем число 320 на два более простых числа: 300 и 20.
Умножаем 300 на 7 и 20 на 7 по отдельности (2 100 и 140).
Складываем получившиеся числа (2 240).
Возведение в квадрат двузначных чисел
Возводить в квадрат двузначные числа не намного сложнее. Нужно разбить число на два и получить приближенный ответ.
Пример: 41^2
Вычтем 1 из 41, чтобы получить 40, и добавим 1 к 41, чтобы получить 42.
Умножаем два получившихся числа, воспользовавшись предыдущим советом (40 × 42 = 1 680).
Прибавляем квадрат числа, на величину которого мы уменьшали и увеличивали 41 (1 680 + 1^2 = 1 681).
Ключевое правило здесь — превратить искомое число в пару других чисел, которые перемножить гораздо проще. К примеру, для числа 41 это числа 42 и 40, для числа 77 — 84 и 70. То есть мы вычитаем и прибавляем одно и то же число.
Мгновенное возведение в квадрат числа, оканчивающегося на 5
С квадратами чисел, оканчивающихся на 5, вообще не нужно напрягаться. Всё, что нужно сделать, — это умножить первую цифру на число, которое на единицу больше, и добавить в конец числа 25.
Пример: 75^2
Умножаем 7 на 8 и получаем 56.
Добавляем к числу 25 и получаем 5 625.
Деление на однозначное число
Деление в уме — это достаточно полезный навык. Задумайтесь о том, как часто мы делим числа каждый день. К примеру, счёт в ресторане.
Пример: 675 : 8
Найдём приближенные ответы, умножив 8 на удобные числа, которые дают крайние результаты (8 × 80 = 640, 8 × 90 = 720). Наш ответ — 80 с хвостиком.
Вычтем 640 из 675. Получив число 35, нужно разделить его на 8 и получить 4 с остатком 3.
Наш финальный ответ — 84,3.
Мы получаем не максимально точный ответ (правильный ответ — 84,375), но согласитесь, что даже такого ответа будет более чем достаточно.
Простое получение 15%
Чтобы быстро узнать 15% от любого числа, нужно сначала посчитать 10% от него (перенеся запятую на один знак влево), затем поделить получившееся число на 2 и прибавить его к 10%.
Пример: 15% от 650
Находим 10% — 65.
Находим половину от 65 — это 32,5.
Прибавляем 32,5 к 65 и получаем 97,5.
Банальный трюк
Пожалуй, все мы натыкались на такой трюк:
Задумайте любое число. Умножьте его на 2. Прибавьте 12. Разделите сумму на 2. Вычтите из неё исходное число.
Вы получили 6, верно? Что бы вы ни загадали, вы всё равно получите 6. И вот почему:
2x (удвоить число).
2x + 12 (прибавить 12).
(2x + 12) : 2 = x + 6 (разделить на 2).
x + 6 − x (вычесть исходное число).
Этот трюк построен на элементарных правилах алгебры. Поэтому, если вы когда-нибудь услышите, что кто-то его загадывает, натяните свою самую надменную усмешку, сделайте презрительный взгляд и расскажите всем разгадку. 🙂
Магия числа 1 089
Этот трюк существует не одно столетие.
Запишите любое трёхзначное число, цифры которого идут в порядке уменьшения (к примеру, 765 или 974). Теперь запишите его в обратном порядке и вычтите его из исходного числа. К полученному ответу добавьте его же, только в обратном порядке.
Какое бы число вы ни выбрали, в результате получите 1 089.
Быстрые кубические корни
Для того чтобы быстро считать кубический корень из любого числа, понадобится запомнить кубы чисел от 1 до 10:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 8 27 64 125 216 343 512 729 1 000
Как только вы запомните эти значения, находить кубический корень из любого числа будет элементарно просто.
Пример: кубический корень из 19 683
Берём величину тысяч (19) и смотрим, между какими числами она находится (8 и 27). Соответственно, первой цифрой в ответе будет 2, а ответ лежит в диапазоне 20+.
Каждая цифра от 0 до 9 появляется в таблице по одному разу в виде последней цифры куба.
Так как последняя цифра в задаче — 3 (19 683), это соответствует 343 = 7^3. Следовательно, последняя цифра ответа — 7.
Ответ — 27.
Примечание: трюк работает только тогда, когда исходное число является кубом целого числа.
Правило 70
Чтобы найти число лет, необходимых для удвоения ваших денег, нужно разделить число 70 на годовую процентную ставку.
Пример: число лет, необходимое для удвоения денег с годовой процентной ставкой 20%.
70 : 20 = 3,5 года
Правило 110
Чтобы найти число лет, необходимых для утроения денег, нужно разделить число 110 на годовую процентную ставку.
Пример: число лет, необходимое для утроения денег с годовой процентной ставкой 12%.
110 : 12 = 9 лет
Математика — волшебная наука. Я даже немного смущён тем, что такие простые трюки смогли меня удивить, и даже не представляю, сколько ещё математических фокусов можно узнать.
источник
Давида Гильберта спросили об одном из его бывших учеников.
– Ах, этот-то? – вспомнил Гильберт. – Он стал поэтом. Для математики у него было слишком мало воображения.
Однажды ночью у Блеза Паскаля была ужасная зубная боль. Он использовал все возможные средства для избавления от боли, но напрасно. Тогда Паскаль занялся исследованием циклоиды, обнаружил ряд новых свойств, констатировав в заключение, что зубная боль прошла.
Известный русский математик академик Марков на вопрос, что такое математика, ответил: «Математика – это то, чем занимаются Гаусс, Чебышев, Ляпунов, Стеклов и я».
Говоря о своем сыне, Давид Гильберт шутил: «Способности к математике он унаследовал от матери, все остальное – от меня».
На одной из своих лекций Давид Гильберт сказал:
– Каждый человек имеет некоторый определенный горизонт. Когда он сужается и становится бесконечно малым, он превращается в точку. Тогда человек говорит: «Это моя точка зрения».
Однажды Гильберт и его супруга устроили званый вечер. После прихода одного из гостей мадам Гильберт отвела мужа в сторону и сказала ему: «Давид, пойди и смени галстук». Гильберт ушел. Прошел час, а он все не появлялся. Встревоженная хозяйка дома отправилась на поиски супруга и, заглянув в спальню, обнаружила Гильберта в постели. Тот крепко спал. Проснувшись, он вспомнил, что, сняв галстук, автоматически стал раздеваться дальше и, надев пижаму, лег в кровать.
Однажды Исаак Ньютон решил сварить куриное яйцо, не прерывая работу. Взял хронометр, чтобы варить яйцо в течение трех минут. Однако он был занят математической задачей, которую пытался решить в тот момент. Когда же он спохватился, то очень удивился: часы были поставлены вариться, а в руке он держал яйцо, чтобы засекать время.
Великий физик Гиббс был очень замкнутым человеком и обычно молчал на заседаниях ученого совета университета, в котором он преподавал. На одном из заседаний этого совета, когда решался вопрос о том, уделить ли в новых учебных программах больше места математике или иностранным языкам, он не выдержал и произнес речь: «Математика – это язык!» – сказал он.
Альберт Эйнштейн любил фильмы Чарли Чаплина и относился с большой симпатией к созданному им герою. Однажды он написал в письме к Чаплину: «Ваш фильм «Золотая лихорадка» понятен всем в мире, и Вы непременно станете великим человеком. Эйнштейн».
На что Чаплин ответил так: «Я Вами восхищаюсь еще больше. Вашу теорию относительности никто в мире не понимает, а Вы все-таки стали великим человеком. Чаплин».
Карл Гаусс еще со школьной скамьи выделялся остротой ума. Однажды учитель сказал ему: «Карл, я хотел бы задать тебе два вопроса. Если на первый вопрос ты ответишь правильно, то на второй можешь не отвечать. Итак, сколько иголок на школьной елке, украшенной к Новому году?»
– 65786 иголок, господин учитель, – немедленно ответил Гаусс.
– Хорошо, но как ты это узнал? – спросил учитель.
– А это уже второй вопрос, – быстро ответил ученик.
Среди многочисленных лекций о приложениях математики, прочитанных Чебышевым, отмечается и его доклад в Париже, посвященный математической теории в производстве одежды. Собрались лучшие закройщики и модельеры, различные эксперты элегантности. Чебышев начал свою лекцию знаменитой математической фразой: «Допустим, для простоты, что тело человека имеет сферическую форму».
После таких слов дальнейшая речь звучала в пустом зале, поскольку шокированная публика удалилась.
Выдающийся математик современности Джон фон Нейман некогда консультировал специалистов, строивших ракету-носитель для космического корабля. Увидев остов ракеты, фон Нейман спросил у сопровождавших сотрудников:
– Кто сконструировал ракету?
– Наши инженеры, – ответили ему.
– Инженеры! – презрительно повторил фон Нейман.
– Я разработал полную математическую теорию ракет. Возьмите мою работу 1952 г. и вы найдете там все, что вас интересует.
Специалисты раздобыли работу, о которой говорил фон Нейман, сдали на слом разработанную ими конструкцию ракеты (на которую к тому времени было израсходовано 10 млн. долларов) и построили новую ракету, неуклонно следуя рекомендациям фон Неймана. Но их постигла неудача: при нажатии на кнопку «Пуск» раздался оглушительный взрыв, и ракета разлетелась на мелкие кусочки. В гневе ракетчики позвали фон Неймана и спросили:
– Мы выполнили все ваши рекомендации, а ракета все-таки взорвалась при запуске. Почему?
– То, о чем вы говорите, относится к так называемой теории сильного взрыва. Я рассмотрел ее в своей работе 1954 г. В ней вы найдете все, что вас интересует, – ответил фон Нейман. Над дверью своего деревенского дома Нильс Бор прибил подкову, которая, согласно поверию, должна приносить счастье. Увидев подкову, один из посетителей воскликнул:
– Неужели такой великий ученный, как вы, может действительно верить, что подкова над дверью приносит удачу?
– Нет, – ответил Бор, – конечно, я не верю. Это предрассудок. Но, вы знаете, говорят, она приносит удачу даже тем, кто в это не верит.
О Жане Даламбере рассказывают, что каждый раз, когда доказывал студентам собственную теорему, он говорил: «А сейчас, господа, мы перейдем к теореме, имя которой я имею честь носить».
Один философ испытал сильнейшее потрясение, узнав от Бертрана Рассела, что из ложного утверждения следует любое утверждение. Он спросил:
– Вы всерьез считаете, что из утверждения «два плюс два – четыре» следует, что вы – папа римский?
Рассел ответил утвердительно.
– И вы можете доказать это?» – продолжал сомневаться философ.
– Конечно! – последовал уверенный ответ, и Рассел тотчас же предложил такое доказательство.
1) Предположим, что 2+2=5.
2) Вычтем из обеих частей по два: 2=3.
3) Переставим левую и правую части: 3=2.
4) Вычтем из обеих частей по единице: 2=1.
Папа Римский и я – нас двое. Так как 2=1, то папа римский и я – одно лицо. Следовательно, я – папа римский.
О французском математике Пьере де Мопертюи (он же – фаворит Наполеона Бонапарта) говорили, что как-то, после обильного застолья и выпивки, он погрузился в кресло и произнес, зевая: «Сейчас я бы решил задачу красивую, но не слишком сложную!»
Один педантичный профессор имел обыкновение говорить: «… полином четвертой степени
где e не обязано быть основанием натуральных логарифмов» (но может им быть).
Логическая дедукция Летят однажды на воздушном шаре Шерлок Холмс и доктор Ватсон. Шар сносит ветром и он теряет высоту. Путешественники, потеряв всякую ориентацию, замечают неподалеку человека.
– Господин, скажите, пожалуйста, хотя бы приблизительно, где мы находимся? – спрашивает Холмс.
– Почему же приблизительно? Я могу сказать вам совершенно точно. Вы находитесь в корзине воздушного шара.
В этот момент порывом ветра шар уносит ввысь.
– Вот черт! Угораздило же попасть именно на математика, – бормочет Холмс.
– Я, как всегда, восхищен вами, Холмс. Но как вы узнали, что этот человек – математик? – удивляется Ватсон.
– Это элементарно, его ответ на столько же точен, на сколько и бесполезен.
Псевдоматематика
Физик верит, что 60 делится на все числа. Он замечает, что 60 делится на 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Он проверяет несколько других чисел, например, 10, 20 и 30, взятые, как он говорит, наугад. Так как 60 делится на них, то он считает экспериментальные данные достаточными.
Инжeнер подозревает, что все нечетные числа простые. Во всяком случае 1 можно рассматривать как простое число, доказывает он. Затем идут 3, 5 и 7, все, несомненно, простые. Затем идет 9 – досадный случай; по-видимому, 9 не является простым числом, но 11 и 13, конечно, простые.
– Возвратимся к 9, – говорит он, – я заключаю, что 9 должно быть ошибкой эксперимента.
источник
Эта задача с перетягиванием каната совсем несложно решается с применением элементарных математических уравнений.
Но можно также просто подумать и справиться без применения математики (если вы её уж очень не любите).
Перетягивание каната
Перетягиванием каната развлекались: Александр, Вячеслав, Константин и Эдуард. Вячеслав мог перетянуть вместе взятых Александра и Константина.
Если Александр и Вячеслав становились с одной стороны, а за другой конец брались Константин и Эдуард, то ни первая пара, ни вторая не могли перетянуть канат на свою сторону.
Но когда Константин и Александр менялись местами, то Виталий и Александр с легкостью побеждали своих противников.
Определите самого сильного участника. Кто из них занимает 2-е место, кто 3-е, а который из парней оказался наиболее слабеньким?
Ответ на задачу с канатом:
Самое простое — запишите данное условие задачи с перетягиванием каната в виде неравенств. Обозначаем каждого участника этой битвы начальной буквой его имени. Тогда получаем:
В > А + К
В + А = К + Э
В + К < А + Э
Рассмотрев последние два составленных нами неравенства, мы видим, что Александр посильнее Константина.
Из этого следует, что Эдуард сильнее Вячеслава (иначе наше неравенство В + А = К + Э окажется невозможным). Из первого выведенного неравенства мы видим, что Вячеслав заведомо крепче Александра.
Итак, получается — самый сильный из них – Эдуард. На втором месте — Вячеслав, на третьем — Александр. А — Константин, соответственно, самый слабый из этих всех ребят.
источник
Возьмите любое натуральное число n. Если n чётное, разделите его на 2, получится n/2.
Если n нечётное, умножьте его на 3 и прибавьте 1, получится 3n + 1. Повторяйте этот процесс снова и снова. Вы увидите, что какое бы вы число ни взяли, через определённое количество шагов последовательность возвратится к единице. Эта последовательность называется сиракузской и является одной из нерешённых проблем математики, предложенной Лоттером Коллатцом в 1937 году.
источник
Математика, как известно, «царица наук». Те, кто ей занимается всерьез, — люди особые — они живут в мире формул и цифр. В познании мира математики есть и практический смысл: за решение ряда задач институт Клэя готов дать миллион долларов.
1 Гипотеза Римана Все мы помним ещё со школы ряд таких чисел, которые можно поделить только на само себя и на один. Они называются простыми (1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17…). Самое большое из известных на сегодня простых чисел было найдено в августе 2008 года и состоит из 12 978 189 цифр. Для математиков эти числа очень важны, но как они распределяются по числовому ряду до сих пор до конца не ясно. В 1859 году немецкий математик Бернхард Риман предложил свой способ их поиска и проверки, найдя метод, по которому можно определить максимальное количество простых чисел, не превышающих определенное заданное число. Математики подвергли проверке этот метод уже на полутора триллионах простых чисел, но никто не может доказать, что и дальше проверка будет успешной. Это не простые «игры разума». Гипотеза Римана широко используется при расчете систем безопасности передачи данных, поэтому ее доказательство имеет большой практический смысл.
2 Уравнения Навье-Стокса
Уравнения Навье-Стокса являются основой для расчетов в геофизической гидродинамике, в том числе для описания движения течений в мантии Земли. Используются эти уравнения и в аэродинамике. Суть их в том, что любое движение сопровождается изменениями в среде, завихрениями и потоками. Например, если лодка плывет по озеру, то от её движения расходятся волны, за самолетом образуются турбулентные потоки. Эти процессы, если упрощать, и описывают созданные ещё в первой трети XIX века уравнения Навье-Стокса. Уравнения есть, но решить их по-прежнему не могут. Более того, неизвестно, существуют ли их решения. Математики, физики и конструкторы успешно пользуются этими уравнениями, подставляя в них уже известные значения скорости, давления, плотности, времени и так далее. Если у кого-нибудь получится использовать эти уравнения в обратном направлении, то есть вычисляя из равенства параметры, либо докажет, что метода решения нет, тогда этот «кто-нибудь» станет долларовым миллионером.
3 Гипотеза Ходжа
В 1941 году профессор Кембриджа Вильям Ходж предположил, что любое геометрическое тело можно исследовать как алгебраическое уравнение и составить его математическую модель. Если подойти с другой стороны к описанию этой гипотезы, то можно сказать, что исследовать любой объект удобнее тогда, когда его можно разложить на составные части, а уже эти части исследовать. Однако здесь мы сталкиваемся с проблемой: исследуя отдельно взятый камень, мы не можем сказать фактически ничего о крепости, которая построена из таких камней, о том, сколько в ней помещений, и какой они формы. Кроме того, при составлении изначального объекта из составных частей (на которые мы его разобрали) можно обнаружить лишние части, либо напротив — недосчитаться. Достижение Ходжа в том, что он описал такие условия, при которых не будут возникать «лишние» части, и не будут теряться необходимые. И все это при помощи алгебраических вычислений. Ни доказать его предположение, ни опровергнуть математики не могут уже 70 лет. Если это получится у вас — станете миллионером.
4 Гипотеза Берча и Свинертон-Дайера
Уравнения вида xn + yn + zn + … = tn были известны ещё математикам древности. Решение самого простого из них («египетский треугольник» — 32 + 42 = 52) было известно ещё в Вавилоне. Его полностью исследовал в III веке нашей эры александрийский математик Диофант, на полях «Арифметики» которого Пьер Ферма сформулировал свою знаменитую теорему. В докомпьютерную эпоху самое больше решение этого уравнения было предложено в 1769 году Леонардом Эйлером (2 682 4404 + 15 365 6394 + 18 796 7604 = 20 615 6734). Общего, универсального способа вычисления для таких уравнений нет, но известно, что у каждого из них может быть либо конечное, либо бесконечное число решений. В 1960 году математикам Берчу и Свинертон-Дайеру, экспериментировавшим на компьютере с некоторыми известными кривыми, удалось создать метод, сводящий каждое такое уравнение к более простому, называемому дзета-функцией. По их предположению, если эта функция в точке 1 будет равна 0, то количество решений искомого уравнения будет бесконечным. Математики предположили, что это свойство будет сохраняться для любых кривых, но ни доказать, ни опровергнуть это предположение пока никто не смог. Чтобы получить заветный миллион, нужно найти пример, при котором предположение математиков не сработает.
5 Проблема Кука-Левина
Проблема решения-проверки Кука-Левина заключается в том, что на проверку любого решения уходит меньше времени, чем на решение самой задачи. Если наглядно: мы знаем, что где-то в на дне океана есть клад, но не знаем, где именно. Его поиски могут проходить поэтому бесконечно долго. Если же мы знаем, что клад находится в таком-то квадрате, определенном заданными координатами, то поиск клада существенно упростится. И так всегда. Скорее всего. Пока что никому из математиков и простых смертных не удалось найти такую задачу, решение которой заняло бы меньше времени, чем проверка правильности её решения. Если вдруг у вас получится найти такую — срочно пишите в институт Клэя. Если комиссия математиков одобрит — миллион долларов у вас в кармане. Проблема Кука-Левина была сформулирована ещё в 1971 году, но до сих пор никем не решена. Её решение может стать настоящей революцией в криптографии и системах шифрования, поскольку появятся «идеальные шифры», взлом которых будет фактически невозможен.
Источник
источник
Самый сложный судоку в мире в 2012 году создал Арто Инкала — математик из Финляндии. По шкале, которой обычно замеряют трудность этой японской головоломки, судоку Инкала был оценен в одиннадцать балов.
Источник