Среди всех загадок, какие только знала история, най­мется не так много, пожалуй, тех, что напрямую свя­заны с математикой.

Эта наука располагает массой подчас неразрешимых задач, сложный язык ее формул зачас­тую пугает. Исключение представляет лишь великая теорема Ферма, о которой многие наслышаны. Она предельно проста, доступна для понимания любого человека, включая такого, который совершенно не любит математику. А главное, это единственная теорема, удостоенная чести быть положенной в основу сюжета фантастического рассказа. Среди множества произведений американского фантаста А. Порджесса рассказ «Саймон Флегг и дьявол» занимает особое место. На сегодняшний день это единственное литературное сочинение, прославляющее математику. Перед читателем раскрывается все величие и прекрасная в своей сложности гармония математи­ческой науки. Плоды многотысячелетнего труда армии математиков оказываются настолько внушительными, что просто недоступны воображению обывателя. Человек, знакомясь с математикой, словно погружается в иную Вселенную, измеряемую неевклидовыми, начертательными, сферическими, аналитическими и прочими геометриями. Сюжет рассказа предельно прост. Вымышленный математик С. Флегг задает задачку дьяволу и требует ответ через сутки. Нетрудно догадаться, что задачкой была именно теорема, которую не решил ни один математик.

Выбор автора удачен. Нельзя в более подходящем свете пред­ставить математику, кроме как поведав о таинственной теореме лись доказать теорему на протяжении последних 350 лет! При этом были перепробованы все без исключения разделы матема­тики. Не найдется такой области учения о числах и фигурах, которая не оказалась бы задействована в решении этой задачи.

Более того, попытки доказать теорему привели к созданию новых направлений внутри математики. Не получив ответа на вопрос, математики забрались в такие дебри бесконечного «кос­моса чисел», что вынуждены были создать новые математичес­кие учения. В числе последних теория идеальных чисел, рож­денная уже в XX в. Любопытно, что создатель теоремы живший в первой половине XVII столетия, француз П. Ферма не принад­лежал к числу профессиональных математиков, хотя с его мне­нием считались крупнейшие ученые того времени. С Ферма, состоявшим на государственной службе в министерстве, перепи­сывались выдающиеся математики, многие консультировались у него. Ферма сделал немало замечательных открытий в облас­ти алгебры, многие из его теорем изучаются в программе сред­ней школы, не говоря о вузовских учебных программах.

Интересен и другой факт из научной жизни гениального француза. Ферма сделал почти все свои открытия, опираясь на одну-единственную книгу. Историкам прекрасно известен этот солидный том, так много значивший для развития мате­матических знаний. Этой настольной книгой любителя цифи­ри была «Арифметика» древнегреческого математика Диофанта. Живший в III в. н.э., этот человек являлся без сомнения видней­шим специалистом по арифметике. Даже эпитафию к своему памятнику Диофант, когда почувствовал приближение смер­ти, записал в виде хитроумной задачи. Ферма, перелистывая страницы «Арифметики», как бы вел диалог со своим прославленным предшественником. Время от времени француза что-то подводило к оригинальным мыслям, и он делал заметки прямо на полях книги. В такой форме было записано большинство открытий этого ученого. К сожалению, доказательство своей главной теоремы Ферма на полях книги не записал.

В письме другу он признается, что одно из мест в «Ариф­метике» натолкнуло его на весьма любопытные соображения, и он даже создал занимательную теорему. Но Ферма сокру­шается, что в книге не хватило места, чтобы записать доказа­тельство этой теоремы. И все-таки Ферма уверял в письме, что доказательство им найдено, причем крайне необыкновен­ное. Впоследствии ученые так и не смогли отыскать в запи­сях гениального француза даже намека на доказательство, оно оказалось полностью утраченным для науки.

Впрочем, это мало кого удивило. Множество положений — лемм и теорем, составленных Ферма, были доказаны спустя столетия другими математиками, в первую очередь Л. Эйле­ром. Но вот главную теорему, получившую название вели­кой, никто из последователей Ферма так доказать и не сумел. Хуже того, ученые стали спорить, а существует ли вообще доказательство этого чудного творения. Оттого герой вышеупомянутого рассказа А. Порджесса формулирует свой воп­рос дьяволу именно таким образом: верна или неверна вели­кая теорема Ферма?

Определенного ответа на этот вопрос в настоящее время не существует. Посмотрим, что же представляет собой загадоч­ная теорема. Очевидно, на создание теоремы П. Ферма под­толкнуло учение о пифагоровых тройках, тщательно проана­лизированное у Диофанта в «Арифметике». Пифагор, как известно, доказал геометрическую теорему прямоугольного треугольника, названную впоследствии в его честь.

Она изучается в средней шко­ле и прекрасно всем известна. Теорема гласит, что сумма квад­ратов катетов (малых сторон треугольника) равна квадрату гипотенузы (самой большой его стороне, противолежащей пря­мому углу). Еще Пифагор до­гадался, что в это равенство подходят не какие угодно чис­ла, а только определенным об­разом сочетающиеся.

Греческого мудреца заинтересовало, сколько существует природе натуральных чисел, которые бы удовлетворяли условиям этого равенства. Иными словами, Пифагор стал под­бирать тройки простых целых чисел (таких как 1, 2, 3… 117, 118 и т.д.), сумма квадратов двух из которых дает квадрат третьего. Типичным примером наиболее простой тройки явля­ется группа чисел 3, 4 и 5. Квадрат 3 равен 9, квадрат 4—16, а квадрат 5—25. Сумма 9 и 16 дает 25. Вот почему числа 3, 4 и 5 можно сгруппировать в тройку.

Еще греки создали правила нахождения троек, получивших название пифагоровых. Скорее всего, удивительное сочетание чисел привлекло внимание пытливого математика-любителя, каковым являлся Ферма. Он задался вопросом, а можно ли найти тройки чисел для более высоких степеней. И, размыш­ляя над этим вопросом, неожиданно понял, что таких троек просто не существует. Какими путями великий математик при­шел к этому необычному выводу, не знает никто, и в обозримом будущем ситуация вряд ли прояснится. Видимо, это произош­ло, когда он безуспешно попытался создать правила нахожде­ния троек для более высоких степеней. Зато Ферма с уверенностью утверждал следующее. Нет натуральных чисел, равные степени которых, большие 2, в сум­ме дают такую же степень третьего натурального числа. Так, никто никогда не отыщет два куба от натуральных чисел, чтобы их сумма равнялась кубу от другого натурального чис­ла. Скажем, тройка 3, 4 и 5 распадается, если возвести эти числа в кубы или более высокие степени.

Современные математики с большим трудом доказали, что теорема верна в отношении некоторых степеней. Например, в отношении тех же кубов. Максимальная степень, про которую ученые с полным правом могут сказать, что она подчиняется великой теореме Ферма, это степень с показателем 100 000. Воз­веденные в нее или меньшую степень числа не образуют троек. Доказательства справедливости теоремы по отношению к про­чим, т.е. более высшим, степеням пока не получено.

И все-таки ученые могут предположить, что великая тео­рема на самом деле ошибочна. Ведь создатель так и не смог найти для нее доказательства. Чтобы доказать эту оригиналь­ную теорему в тех ограниченных пределах, в каких это уда­лось сделать современным математикам, пришлось восполь­зоваться методами таких отраслей алгебры и геометрии, ко­торых просто не существовало в XVII в.

Таким образом, у гениального француза не было возмож­ности правильно доказать свою теорему. Однако Ферма утверждает, что нашел это загадочное доказательство. Посколь­ку нет причин заподозрить выдающегося ученого во лжи, ос­тается только предположить, что он допустил какую-то ошиб­ку. То есть Ферма только показалось, что он нашел доказа­тельство, а в действительности теорема так и не была доказа­на. Следовательно, великая теорема Ферма является одним из величайших заблуждений в истории точных наук.

источник