Речь идет о жестоком телесном наказании.
Изначально ни о какой козе и речи не было: «сидорова коза» — это искажение арабского оборота «садар каза», означавшего приговор шариатского судьи — кази, или казия — и часто содержавший в себе наказание (битьё палками).
Также образность сравнения строится на переносных значениях слов Сидор (это имя в народе часто связывалость с представлением о злом или сварливом человеке) и коза (по народным представлениям, животное с вредным характером).
источник