Лямку тянуть — делать тяжёлую однообразную работу в течение продолжительного времени.
Выражение восходит к речи бурлаков на русских судоходных реках. Вниз суда шли по течению, а для поднятия их вверх, против течения, использовались лошади или бурлаки. Хозяин судна нанимал артель бурлаков и они тянули суда против течения за канат — бечеву. Канат крепился за мачту или специально установленный шест. Бурлаки перекидывали лямки, прикреплённые к бечеве, через плечо и шли по берегу или мелководью у берега, таща за собой суда или баржи.
Лямка в выражении — это широкий ремень из кожи или прочной ткани, который перекидывают через плечо для тяги или переноски грузов.